21-07-2017, 12:58 AM
Porque no se merecen nada menos que un gran hilo 
.
Abro poniendo la que es a mi gusto la demostración más hermosa que he visto. La leí hace un tiempo por Internet, a ver si consigo acordármela:
La demostración por inundación de la fórmula de Euler
La fórmula de Euler dice que dado un poliedro de V vertices, E ejes y C cadas, entonces V - E + C = 2. Por ejemplo, un cubo tiene ocho vértices, 12 ejes y seis caras y 8 - 12 + 6 = 2.
Demostración:
Imaginaos que el poliedro es un planeta flotando en el espacio. Hay un hueco en cada cada y una montaña en cada vértice. Y los huecos están llenos de agua. Ahora imaginaos que empieza a llover en un planeta y el nivel del agua empieza a crecer. El agua subiendo de a poco, cubriendo todos los ejes, hasta que el planeta es un océano entero de V islas flotando por ahí sin más. Cada vez que el agua pasa un eje, hay dos posiblidades:
1. Dos cuerpos de agua se juntan en uno, haciendo que el número de lagos decrezca en uno y el número de masas de tierra se mantenga.
2. Un cuerpo de agua se junta consigo mismo, haciendo que el número de lagos se mantenga y el de masas de tierra crezca en uno.
Inicialmente hay C lagos y una masa de tierra. Al final de la inundación, hay un lago y V masas de tierra. En consecuencia, debe haber habido C-1 cruces de agua del primer tipo y V - 1 cruces de agua del segundo tipo.
Cada eje fue cruzado exactamente una vez. Así que E = (F - 1) + (V - 1), lo cual es equivalente a V - E + F = 2.
.Abro poniendo la que es a mi gusto la demostración más hermosa que he visto. La leí hace un tiempo por Internet, a ver si consigo acordármela:
La demostración por inundación de la fórmula de Euler
La fórmula de Euler dice que dado un poliedro de V vertices, E ejes y C cadas, entonces V - E + C = 2. Por ejemplo, un cubo tiene ocho vértices, 12 ejes y seis caras y 8 - 12 + 6 = 2.
Demostración:
Imaginaos que el poliedro es un planeta flotando en el espacio. Hay un hueco en cada cada y una montaña en cada vértice. Y los huecos están llenos de agua. Ahora imaginaos que empieza a llover en un planeta y el nivel del agua empieza a crecer. El agua subiendo de a poco, cubriendo todos los ejes, hasta que el planeta es un océano entero de V islas flotando por ahí sin más. Cada vez que el agua pasa un eje, hay dos posiblidades:
1. Dos cuerpos de agua se juntan en uno, haciendo que el número de lagos decrezca en uno y el número de masas de tierra se mantenga.
2. Un cuerpo de agua se junta consigo mismo, haciendo que el número de lagos se mantenga y el de masas de tierra crezca en uno.
Inicialmente hay C lagos y una masa de tierra. Al final de la inundación, hay un lago y V masas de tierra. En consecuencia, debe haber habido C-1 cruces de agua del primer tipo y V - 1 cruces de agua del segundo tipo.
Cada eje fue cruzado exactamente una vez. Así que E = (F - 1) + (V - 1), lo cual es equivalente a V - E + F = 2.
